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Movimiento Armonico Simple

El movimiento armónico simple

1) Para los ingenieros:


Un movimiento armónico simple está caracterizado por el movimiento de una masa que salta cuando está sujeta a una fuerza de reconstitución elástica lineal dada por la ley de Hooke. El movimiento es sinusoidal en tiempo y da sólo una frecuencia de resonancia

La ecuación de un movimiento armónico simple contiene una descripción completa del movimiento, y otros parámetros de movimiento pueden ser calculados a partir de éste.

La velocidad y la aceleración están dadas por:

La totalidad de energía para un oscilador puro es la suma de la energía cinética y de la energía potencial que es constante para:

El movimiento armonico simple se parece a una funcion senoidal o cosenoidal y por lo general las amplitudes y las oscilaciones de onda son simetricas

Si el movimiento es senoidal o cosenoidal el desplazamiento de la masa esta dada por:
X= Xcos 2πt/ T

para encontrar la velocidad de la onda consideremos
v= d/t
v= dx/dt Xo cos 2πt/T = -2πXo/T sen 2πt/T

F=ma

Donde d/dt = cos ay = -asen ay

V= dx/dt = d/dt = Xocos 2 πt/ T

X= Xo cos 2 πt/T

donde

t= tiempo

T= periodo

V= - 2 πXo/ T sen 2 πt/T

Un frente de onda no desplaza masa, si no enrgia

La energia y la materia pueden ser intercambiables añadiendo la constante de la velocidad del tiempo

Ondas mecanicas necesitan un medio
Ondas electromagneticas no necesitan un medio

Las ondas celulares y la energia electrica, trabajan en el vacio.

Con respecto al eje y
d/dy cos ay = -a sen ay

La velocidad calculada es la velocidad de la masa

Derivamos velocidad respecto al tiempo
a= dv/dt = 2 πXo/T d/dt sen 2 πt/T

=-4 π2 / T2 Xo cos 2 πt/T

Se usa la siguiente formula
d/dx sen ay = a cos ay
la aceleracion de la masa
a= - 4 π2/ T2 X

La aceleracion es proporcional al negativo del desplazamiento

F= ma
para la ecuacion de onda
Fr= - 4 π2m / T2

La direccion de la fuerza de restitucion es opuesta a la direccion de desplazamiento una condicion que es inherente a la naturaleza de las fuerzas de restitucion. Por lo tanto un sistema que vibra senoidalmente es un sistema que obedece la ley de Hooke en este caso la fuerza de restitucion es proporcional a la distorcion.

Fr= -Kx Ley de Hooke
Para un periodo descrito por la ley de Hooke

T= 2 π √m/k

Para la aceleracion y velocidad del movimiento armonico simple (MAS)
a= - k/ m x

asociando con las expresiones de propagaciones de onda
v=√ k/m Xo sen 2 πt/T

sumamos el cuadrado de la ecuacion
(x=Xo cos 2 πt/T)2
sabemos que sen2θ + cos2θ = 1


m/kV2= Xo2-X2
O bien despejando para la velocidad
V=√ k/m Xo2- X2
Ecuacion de velocidad de onda de movimiento

Unidad 5

Movimiento oscilatorio

Todos los objetos con los que interactuamos en la vida diaria constituyen un sistema que vibran y oscilan provocando alteraciones en los objetos y en los modos de movimientos cada objeto esta sujeto a una fuerza de restitucion , es aquella que actua sobre un objeto desplazado para llevarlo de nuevo a su posicion de equilibrio



Una vibracion completa por ciclo de una onda se realiza cuando se pasa desde a hasta el punto c

El tiempo que el sistema ondulatorio emplea en efectuar una oscilacion completa es el periodo del sistema, ya que el sistema efectuara el inversode las vibraciones de la unidad del tiempo a esta cantidad se le llama frecuencia de la vibracion

T= periodo del sistema
1/T = frecuencia(f) ν

Un ciclo por segundo se le llama hert (Hz) en el sistema mks
la distancia desde d hasta c se llama amplitud de la onda

4.1

Helice con radio de 0.4 m
masa 65kg
δ= 25rad/s

I= 65 kg/ 9.8m/s^2

I=(6.63 utm)(0.16m^2)

I=1.0608 Kgm/s^2

L= Iδ
L= 1.0608umt*m^2
δ= 25 rad/s
L=(1.0608utm*m^2)(25rad/s)
L= 26.5 mkp

Momentos de inercia

El trabajo w realizado por una constante L sobre un solido en rotacion es igual al producto del momento del par por el desplazamiento angular.

w= Lθ

w(kpm)= L (mkp) * θ rad

El incremento del imppeto angular producido por un impulso angular es igual a dicho impulso es decir si un par L actua sobre un solido durante un tiempo t. Le ocasiona una variacion de su velocidad angular que para de un valor inicial a un valor final.

I= impulso angular= variacion del impeto angular
z= L= Momento de par

t= tiempo de aplicacion del par

I = L*t
Lt= I(wf-wi)


Tabla de formulas momentos de inercia de solidos simetricos

I= mr2 masa pequeña situada a una distancia r del eje de rotacion

I= 1/2 mr2 cilindro solido uniforme, disco de masa m y radio r

I= 1/2 mL2 Barra del grado uniforme de masa m y longitud L

I= 1/2 m(L2 + b2) Placa ractangular uniforme masa m, base b, longitud L

I= 2/5 mr2

Esfera masiza; masa=m, radio=r




Una helice de avion pesa 70 kg y tiene un radio de giro de 0.5m. Hallar el momento de inercia y el momento del por que comunique una aceleracion angular de 25 rad/seg.

I= mk2
k=radio de giro(expresa como area)
I= momento de inercia
m= masa del objeto
kp-masa que interactua con la gravedad

I= mk2


m= 70/9.8 kg/m/s2


m= 7.1 utm* 0.25x
I= 1.78 utm * m2 (0.5)2
m=1.78 kg/ms2 * 0.25m2
I= 1.78 kgm/ s2
utm= unidades tecnicas de masa


Ecuacion del momento par

L= Iα
L=1.78 utm * m2

α= 25 rad/seg

L=(1.78 utm * m2 ) (25 rad/s2 )

L= 44.6 mkp

Centrifuga y Centripeta

Definicion movimiento de rotacion uniforme

Es el movimiento de un cuerpo que recorre una circunferencia con una velocidad lineal de modulo constante


Aceleracion Centripeta

Ocurre cuando la direccion del vector aceleracion es perpendicular a la direccion de la velocidad y su sentido es hacia el centro de la circunferencia (de no ocurrir asi existiria una componente de aceleracion de la velocidad y el modulo de la velocidad no se mantendria constante).

a=(velocidad inicial del cuerpo)2 / radio de la trayectoria circular

a= V2 /r

otras expresiones

a=V2 /r = (2πrf)2 /r = 4π2 f2 r

V2 /r= 4π2 f2 r

f= velocidad angular del cuerpo (rev/s)

a=V2 /r= ω2/r = ω2 r

Fuerza centripeda

Fuerza centrifuga

Desplazamiento angular

Grados, vueltas, revoluciones, radianes
1 revolucion= 2 π radianes =360°

1 radian= 360°/ 2 π = 360°/2(3.1416) = 57.3° , 1 revolucion/ 2 π radianes

desplazamiento angular en radianes= 2 π por despalazamiento angular en revoluciones

velocidad angular de un cuerpo (ω)

Se expresa como el movimiento de rotacion en todo un eje, que tambien se puede expresar como la variacion de desplazamiento angular que ocurre en una unidad de tiempo.

rad/s
grados/s
rev/s = (rps)
rev/min = (rpm)

Ecuacion de la velocidad angular media.

ω = rad/s =desplazamiento angular/ tiempo invertido en el desplazamiento
ω = rad/s = θ/t
1 rev/s = 2 π rad/s

ω(rad/s) = 2 π * rev/s = 2 π f

f= rev/s
donde f = frecuencia


La aceleracion angular de un cuerpo en movimiento de rotacion en torno a un eje es la variacion que experimenta su velocidad angular en unidad de tiempo se expresa en radianes por segundo cada segundo. Si la velocidad angular de un cuerpo varia uniformemente tenemos entonces la siguiente ecuacion:

α (rad/s2 ) =( rad/s) / t

= (ωf - ωo) / t

ω(rad/s) velocidad angular promedio

rad/s2 = radianes por segundo, cada segundo

α= aceleracion angular
ωo= velocidad angular inicial ωf= velocidad angular final
t= tiempo

P1=P2
P1>P2
P1

Distancia

S= θr

En terminos de movimiento rotacional

S= longitud de arco

Velocidad rotacional
V=ωr
V= velocidad lineal
a=αr
a= aceleracion lineal
θ= radianes
ω= rad/s
α= rad/s2

Ecuaciones de moviento de rotacion


Vf=Vo + af = velicidad final

ωf= ωo + αt

S= Vof+ 1/2 at2

V2t= V2o + 2 aS

ω2t= ω2o + 2αθ


Partiendo del reposo

Vo= θ
Vf= at
ωf= αt

S=1/2 at2
θ= 1/2 α t2

V2t= 2 aS
ω2t= 2αθ