Centros de masa

Teoria de las cuerdas

Espacio y tiempo

Tiempo= Sucesion de eventos
Espacio= dimension donde se lleva a cabo

Centro de masa

En cuestiones de movimiento de sistemas complejos es peferible describir el movimiento de la posicion del centro de masa. La posicion del centro de masa se define de la siguiente manera:
Supongase que un objeto consta de N particulas con masas de m1, m2, m3....mn.
La coordenadas de estas particulas en el eje x se definen como x1, x2, x3.....xn.

Entonces las coordenadas x del centro de masa se definen como

Xcm = (x1m1 + x2m2 + x3m3……xnmn)/m1+ m2+ m3……mn


Ycm =( y1m1 + y2m2 + y3m3……ynmn)/m1+ m2+ m3……mn


Zcm = (z1m1 + z2m2 + z3m3……znmn)/m1+ m2+ m3……mn

Como sumatoria se expresa

Xcm= Σ x1m1 / Σ m1

Ycm= Σ y1m1/ Σ m1

Zcm= Σ z1m1/Σ m1

En el caso de una figura regular, el centro de masa se encuentra en su centro geometrico.
En el caso de un objeto irregular, el centro de masa se encuentra en su punto de equilibrio.

¿Cuanto vale el centro de masa de este sistema?

Xcm= (mb+(2m)(b+a)+(3m)b) / m+2m+3m = b + a/3

Ycm= (0+0+ 3m(-a)) / m+2m+3m = -a/2

Unidad 4. Momento lineal

Choques elasticos: No hay deformacion
Choques inelasticos: Hay deformacion total

Componentes de movimientos de la ley de la conservacion

Particula 1 Po
antes de la colision
Particula 2 Po'


Particula 1 P
despues de la colision
Particula 2 P'

Particula Po, Po' van a colisionar en un espacio R3 (x,y,z)

(Poxi + Poyj + Pozk) + (Po'xi + Po'yj + Po'zk)

(Pxi + Pyj + Pzk) + (P'xi + P'yj + P'zk)

Agrupando terminos

(Pox + Po'x) i + (Poy + Po'y) j + (Poz + Po'z) k

(Px + P'x) i + (Py + P'y) j + (Pz + P'z) k

Igualando terminos en componentes

Pox + Po'x = Px + P'x
Poy + Po'y = Py + P'y
Poz + Po'z = Pz + P'z

¿Que afirman estas ecuaciones ?

Estas 3 ecuaciones afirman que en una colision se conserva el momento en la direccion de x, de modo semejante se conserva el momento paea las direcciones y, z. Las componentes del momento se conservan en una colision.

Colisiones elasticas e inelasticas

m1v1 i + m2v2 i = m1v1 f + m2v2 f
antes de la colision despues de la colision


Ecuacion de la conservacion del momento de un pendulo balistico

V= (m+ M)/ m √2gh

Colisiones perfectamente elasticas en una dimension
Colisiones por alcance

V1i + V2i = V2f + V1f

Conservación de la Energía

la energia no se crea ni se destruye, si no que solo se transforma

La suma
Energia mecanica de un sistema: K+Ug+Us

Donde
K= energia cinetica
Ug= energia gravitacional
Us= energia elastica o de desplazamiento

La energia mecanica de un sistema permanece constante siempre que las fuerzas que realizen trabajo sobre el sistema sean la gravitacional y la elastica.

Hay otros tipos de energia
energia electrica = (Ue)A-(Ue)B


Energia Nuclear
W= (Un)A-(Un)B

El trabajo realizado por fuerzas de friccion origina una cantidad equivalente de energia termica Ut .

La energia total de un sistema aislado permanece constante.


Ley de la relatividad

Realacion masa energia
E= mc^2
c= rapidez de la luz en el vacio 3*10^8 m/s

La equivalencia entre masa y energia se manifiesta oracticamente en un reactor nuclear
En este reactor nuclear la masa se convierte en energia util.

Fuerzas y diagramas de energia
Supongase una curva

∆x= Incremento en la coordenada x
∆u= Incremento en la energia potencial.
F= fuerza
u= es realizado por fuerza internas

Trabajo realizado por la fuerza realizada
Fuerza aplicada ∆u= Fap*∆x

Re- expresamos entonces:
∆u= Fap*∆x = -F *∆x
o bien
el trabajo realizado en el sistema ∆u= -Fx∆x

entonces Fx

Fx= - ∆u/∆x

∆u, ∆x tienden a cero es decir los incrementos en energia y distancia se haran muy pequeños.

entonces podemos escribir:

Fx= -(du/dx)y,z

los subindices y,z se indican en la derivada para mostrar que solo varia.
xyz se mantiene constante.

derivadas parciales
Fx= 2u/2x

Un sistema de equilibrio estable se considera que la energia de accion es equivalente a la energia de reaccion por ejemplo cuando el niño asciende y desciende de su columpio; un sistema de equilibrio inestable ocurre cuando la energia de accio aumenta o disminuye respecto a la energia de reaccion.

Momento lineal

F neta= d(mv)/ dt

Impulso= cambio en el momento
impulso= (mv)final- (mv)inicial

Ecuacion de choque entre 2 masas


si existe un choque entre 2 masas
F2 la energia no se crea ni se destruye, si no que solo se transforma

La suma
Energia mecanica de un sistema: K+Ug+Us

Donde
K= energia cinetica
Ug= energia gravitacional
Us= energia elastica o de desplazamiento

La energia mecanica de un sistema permanece constante siempre que las fuerzas que realizen trabajo sobre el sistema sean la gravitacional y la elastica.

Hay otros tipos de energia
energia electrica = (Ue)A-(Ue)B


Energia Nuclear
W= (Un)A-(Un)B

El trabajo realizado por fuerzas de friccion origina una cantidad equivalente de energia termica Ut .

La energia total de un sistema aislado permanece constante.


Ley de la relatividad

Realacion masa energia
E= mc^2
c= rapidez de la luz en el vacio 3*10^8 m/s

La equivalencia entre masa y energia se manifiesta oracticamente en un reactor nuclear
En este reactor nuclear la masa se convierte en energia util.

Fuerzas y diagramas de energia
Supongase una curva

∆x= Incremento en la coordenada x
∆u= Incremento en la energia potencial.
F= fuerza
u= es realizado por fuerza internas

Trabajo realizado por la fuerza realizada
Fuerza aplicada ∆u= Fap*∆x

Re- expresamos entonces:
∆u= Fap*∆x = -F *∆x
o bien
el trabajo realizado en el sistema ∆u= -Fx∆x

entonces Fx

Fx= - ∆u/∆x

∆u, ∆x tienden a cero es decir los incrementos en energia y distancia se haran muy pequeños.

entonces podemos escribir:

Fx= -(du/dx)y,z

los subindices y,z se indican en la derivada para mostrar que solo varia.
xyz se mantiene constante.

derivadas parciales
Fx= 2u/2x

Un sistema de equilibrio estable se considera que la energia de accion es equivalente a la energia de reaccion por ejemplo cuando el niño asciende y desciende de su columpio; un sistema de equilibrio inestable ocurre cuando la energia de accio aumenta o disminuye respecto a la energia de reaccion.

Momento lineal

F neta= d(mv)/ dt

Impulso= cambio en el momento
impulso= (mv)final- (mv)inicial

Ecuacion de choque entre 2 masas
F2 ∆t- m2V2f - m2V2o

3.2

problema

Una fuerza de friccion de 0.5 N se opone al deslizamiento de un bloque de 200 gr ¿que distancia recorrera antes de detenerse?


distancia = X

Ko+Ugo+Uso+Wn = Kf+Ugf+Usf → ecuación 1
K + Wf = 0
K = cero en todo punto del recorrido
Ug = es constante en todo el recorrido

½ m(V)^2 → F(X)= 0
Despejamos X
X= M(V)^2/2f
Sustituimos :
(0.200kg)(3.0 m/s^2)/ 2(0.50N) = 1.80m

Fuerzas conservativas

Fuerzas conservativas

El trabajo realizado sobre una partícula por una fuerza o una partícula conservativa cuando la partícula se mueve de un punto a otro es independiente de la trayectoria que une a un punto con el otro V en un sistema cerrado.

Trabajo de A→B es independiente de B→A

WA-B + WB-A = 0

WA-B= -WB-A

Fuerza conservativa = 0



Energía potencial y gravitacional (Ug)

La energía potencial interactiva con la diferencia de potenciales gravitacionales, la masa y la velocidad que exista entre por lo menos dos puntos a considerar hP1> hP2


La energia tiende a ir del punto mayor al punto menor


energia requerida= resultado de la fuerza gravitacional sobre la masa

Existen 2 formas de interactuar con la masa:


Bajandola con una cuerda. La cuerda proporcional mgj a la masa
La masa recibe un tiron de la cuerda -mgj

Ug= energía potencial gravitatoria

Ug= mg por lo tanto mg*∆h + mg2 *∆h2+ …+ mgn∆hn

Debe hacerse ∆h→0

Ug= m∫gdh

La gravedad es una función dela altura*

Debe señalarse que la anergia potencial gravitacional de un objeto no es cantidad absoluta; sele pueden adjudicar valores que se expresaran en función de la altura aun que la masa no tenga variación alguna. La energía cinética y potenciales originales de un objeto o sistema mas el trabajo realizado sobre este , por fuerzas externas no tomadas en cuenta por los términos de energía es igual a la energía final del sistema.

Trabajo de fricción

La fuerza de fricción tiene una aplicación directa en cualquier teorema del trabajo y energía; la masa y la fricción interactúan con las fuerzas normales adicionadas al sistema.

Ko+Ugo+Uso+Wn = KfUsf+Uso

Ko = constante de electricidad

Ugo = energía potencial gravitatoria

Uso= Energía de la interacción de superficie, distancia.

Wn= Trabajo (n= la sumatoria del trabajo)

Kf= constante final

Ugf= energía gravitatoria final

Usf = energía de la interracion final

3.1

Problema 3.1

Un bloque de 3kg se acelera ala derecha con una fuerza F = 25.0N opuesta al movimiento hay una fuerza de fricción de F = 80 N. si el bloque parte del reposo ¿Cuál será su rapidez luego de desplazarse 30cm?

Del teorema tenemos
Fuerza neta * Distancia
(Fuerza neta) s = ∆s= ½ m(Vf)^2 – m(vo)^2
Sustitución
(Fn) s = (25.0)-(8.0)
∆s= 0.30 m
Vo = 0
Vf = ¿?
[(25.0)-(8.0)][0.30m]= ½ (3kg)(Vf)^2 – ½ (3kg)(Vo)^2
(17 N )(0.30)= 5.1 N
1.8 m/s

unidad 3

Teorema del trabajo y energía

En un cierto instante un objeto tiene una velocidad inicial i, si una fuerza vectorial se aplica al objeto en dirección del movimiento, la fuerza acelerada al objeto aumenta su velocidad. Para encontrar una relación entre el trabajo realizado por esta fuerza y el cambio de velocidad de objeto podemos restringirnos al movimiento a lo largo de una línea recta, siendo F(x) la componente de la fuerza a lo largo de la línea.

trabajo=(Fuerza)(Distancia)
W= área bajo la curva

Fórmula para la aceleración uniforme de una recta
V^2-Vo^2 = 2as
S= ∆xs
Vo = velocidad inicial
Vf = velocidad final
a = aceleración
s = distancia

Ecuación que relaciona a la aceleración, Fuerza, y la masa
Fuerza = (masa)(aceleración)
as = Fx/masa
(Vf)^2 - (Vo)^2 = 2 (masa)(∆xs)
Despejando la distancia
∆xs = ½ (m/Fxf)[(Vf)^2-(Vo)^2]
Generalizando para toda el área bajo la curva
W= ∆w+ ∆w2+∆w3+…∆wn
W=1/2 [(masa)((V1)^2-(V2)^2)] +… ½ [((masa)((Vn)^2-(Vn)^2)]
Concluimos que
W= ½ [(masa)(Vf)^2]-[1/2(masa)(Vo)^2]


La energía cinética de una masa que se mueve a cierta velocidad se expresa de acuerdo ala siguiente relación.
K=1/2 mV^2
K= es energía cinética
m=masa
V=velocidad
Teorema del trabajo energía
El trabajo realizado por una fuerza resultante es igual al cambio en la energía cinética del objeto.
Trabajo*Fuerza neta = ½[ (masa)(velocidad final)^2 – (masa)(velocidad inicial)^2 ]
Si la fuerza es de frenamiento el trabajo el trabajo que realiza es negativo Vo >Ff
Definición:
Al perder una cantidad K de energía cinética, un objeto puede realizar K Jules de trabajo. Trabajo y energía puedes ser intercambiado.